ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ города Москвы

«Политехнический техникум № 47 имени В.Г.Федорова»

Урок

по дисциплине Математика

«Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным»

Преподаватель

Протасевич Ольга Николаевна

ПРОФЕССИЯ: Наладчик аппаратного и программного обеспечения

ДИСЦИПЛИНА : Математика

КУРС : 1

СЕМЕСТР : 2

ГРУППА :

Тема урока:

«Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным».

Тип урока: комбинированный урок

Форма урока: коллективное обучение по методике В.К. Дьяченко

(обучение в системах малых групп)

Цели урока:

Образовательная – рассмотреть общие подходы, обобщить сведения о видах и методах решения тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным; формировать умения и навыки применения знаний при решении базовых уравнений и применению полученных знаний в профессиональной деятельности.

Развивающая – содействовать развитию логического мышления у обучающихся , развивать умения анализировать, рассуждать, сравнивать, делать выводы, осмысливать материал;

Воспитательная – воспитание познавательного интереса, элементов культуры общения, побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности, формирование навыков работы в трудовом и учебном коллективе.

Задача урока:

Познакомить обучаемых с основными видами и методами решения тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным.

Обеспечение (ресурсы):

Аппаратное обеспечение: компьютер, мультимедийный проектор.

Программное обеспечение: Microsoft Excel .

Основные понятия:

Квадратное уравнение; простейшие тригонометрические уравнения; обратные тригонометрические функции; тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным.

Литература:

Башмаков М.И. Математика: учебник для начального и среднего профессионального образования.– М.; «Академия», 2010. - 256 с.

Дьяченко В. К. - М.; «Народное образование», 2001 . - 496 с.

Методическая литература:

Башмаков М.И. Математика: книга для преподавателей. Методическое пособие.- М.; « Академия», 2013 г.- 224 с.

Электронные ресурсы:

Материалы сайта общественно-педагогического движения по созданию коллективного способа обучения: www.kco-kras.ru.

Этапы урока

Организационный момент.

Проверка домашнего задания.

Актуализация опорных знаний.

Изучение нового материала.

Закрепление и систематизация полученных знаний.

Рефлексия. Подведение итогов. Домашнее задание.

Ход урока

Организационный момент.

Преподаватель ставит перед обучаемыми цели урока:

1) Познакомить с основными видами тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным;

2) Познакомить с типовыми методами решения тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным.

3) Научить применять полученные знания и умения для решения стандартных уравнений;

4) Научить работать с информацией, представленной в различных формах, осуществлять взаимный контроль и самоконтроль, применять полученные знания в профессиональной деятельности.

II . Проверка домашнего задания.

Преподаватель включает презентацию «Домашнее задание», по которой обучаемые самостоятельно выполняют проверку домашнего задания, при необходимости вносят поправки и исправления в работу.

По просьбе обучаемых преподаватель комментирует решения уравнений, вызвавшие затруднения, после чего объявляет фамилии обучаемых, кто по окончании урока сдает на проверку тетради.

№ 1

Ответ:

№ 2

Ответ:

№ 3

Ответ:

№ 4

т.к. то уравнение корней не имеет

Ответ: корней нет

№ 5

Ответ:

№ 6

Ответ:

III . Актуализация опорных знаний.

Преподаватель формирует учебные группы/пары и предлагает на выданных бланках установить соответствие между уравнениями и ответами: «Перед вами слайд с учебным заданием. Установите соответствие между уравнениями (левая часть таблицы) и ответами (правая часть таблицы). Запишите номера верных пар высказываний в тетрадь».

Указанные задания дублируются на включённой презентации.

Установите соответствие

п/п

Уравнение

п/п

Ответ

Корней нет

По окончании работы преподаватель фронтально опрашивает представителей групп, после чего включает страницу презентации с правильными решениями.

Правильные ответы

п/п

Уравнение

п/п

Ответ

Корней нет

Корней нет

11.

13.

10.

12.

IV . Изучение нового материала.

Преподаватель включает презентацию нового материала «Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным. Типы уравнений и методы их решений».

Предлагает обучаемым записывать необходимые тезисы и начинает комментировать каждый слайд, после чего включает презентацию.

Введем понятие:

Общий вид квадратного уравнения:

1 тип тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным – уравнения, алгебраические относительно одной из тригонометрических функций.

Преподаватель поясняет способы решения.

1. Непосредственная подстановка

Замена ,

и

корней нет

Ответ:

Аналогичное решение имеют уравнения вида

Замена

Замена

2.Уравнения, требующие преобразования по формуле тригонометрической единицы

Замена , тогда уравнение принимает вид

и

Корней нет

Ответ:

Аналогичное решение имеют уравнения вида:

заменим , используя формулу тригонометрической единицы

.

Получим уравнение, содержащее только одну тригонометрическую функцию :

Замена

3.Уравнения, требующие преобразования по формуле связи tgx и с tgx

Применяем формулу:

Умножим уравнение на

Замена , тогда уравнение принимает вид

и

Ответ:

2 тип тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным – однородные уравнения, в которых каждое слагаемое имеет одну и туже степень.

Разделим уравнение на

Замена , тогда уравнение принимает вид

и

Ответ:

Преподаватель предлагает обобщить представленный материал и задает вопросы: «На сколько типов делятся тригонометрические уравнения, сводящихся к квадратным? Их название? Назовите способы решения тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным».

Преподаватель направляет действия обучаемых при составлении алгоритма решения уравнений данного типа.

Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным, делятся на два основных типа:

tgx и с tgx :

2 тип – однородные уравнения, в которых каждое слагаемое имеет одну и ту же степень:

Преподаватель составляет откорректированный Алгоритм решения:

1. Определите тип уравнения. При необходимости преобразуйте уравнение так, что бы в нём присутствовала только одна тригонометрическая функция. Для этого выбери нужную формулу: или или раздели на

2. Вводится замена (например , sinx = t , cosx = t , tgx = t ).

5. Запиши ответ.

Для закрепления полученных знаний преподаватель предлагает установить соответствие между уравнениями и возможными способами их решений: «Перед вами слайд с учебным заданием.

1. Проведите классификацию уравнений по методам решения согласно приведенной ниже таблице

(распечатанные варианты таблицы находятся у вас на столах).

2. Поставьте в соответствующей графе номер метода решения.

Заполните таблицу».

Работа выполняется в парах.

п/п

Уравнение

метода

Методы:

1) Введите новую переменную.

2) Введите новую переменную

3) Введите новую переменную.

4) Преобразуйте уравнение, применив формулу, введите новую переменную.

5) Преобразуйте уравнение, применив формулу, введите новую переменную.

6) Разделите каждый член уравнения на, введите новую переменную.

7) Преобразуйте уравнение применив формулу, умножьте члены уравнения на, введите новую переменную.

Проверка задания осуществляется в форме фронтальной беседы.

Преподаватель: «Перед вами слайд с правильными ответами к учебному заданию . Выполните проверку, сверяясь с правильными ответами к учебному заданию. Выполните работу над ошибками в тетради».

Бланки с заданиями собираются в конце урока.

п/п

Уравнение

метода

2

4

2

1

7

1

3

5

6

3

6

2

6

VI . Закрепление и систематизация полученных знаний.

Преподаватель предлагает обучаемым продолжить работу в группах.

Преподаватель: «Решите уравнения. Выполните проверку результата в редакторе Microsoft Excel . По окончании решения представитель группы выходит к учебной доске и представляет решение уравнения, выполненное группой». Преподаватель проверяет решение, оценивает работу группы и при необходимости указывает на ошибки».

Преподаватель:

1 ) Обсудите способы решения в группе.

2) Запишите решение и полученный ответ в тетрадь.

3) Выполнить проверку результата в редакторе Microsoft Excel .

4) Сообщите о готовности преподавателю.

5) Объясните свое решение, записав его на доске, членам других групп.

6) Вдумчиво выслушайте выступления товарищей, при необходимости задавайте вопросы.

Учебным группам, выполнившим задания в полном объеме, предлагается выполнить задание других групп. Состав успешных групп поощряется повышением итогового балла на одну единицу.

Первая группа:

Применяем формулу:

и

Корней нет

т.к.

Ответ:

Вторая группа:

Применяем формулу:

Замена, тогда уравнение принимает вид

и

Ответ: ;

Третья группа:

Применяем формулу:

Умножим уравнение на

Замена, тогда уравнение принимает вид

и

Ответ:

Четвертая группа:

Разделим уравнение на

Замена, тогда уравнение принимает вид

и

Ответ:

Пятая группа:

Замена, тогда уравнение принимает вид

и

Ответ:; .

VII . Рефлексия. Подведение итогов. Домашнее задание.

Преподаватель: Подведем итоги вашей работы, соотнося результаты вашей деятельности с поставленной целью.

Повторим понятия:

• «Тригонометрические уравнения, которые при помощи преобразования и замены переменной приводятся к квадратным называются тригонометрическими уравнениями, сводящимися к квадратным».

1 тип – уравнения, алгебраические относительно одной из тригонометрических функций:

- непосредственная подстановка - замена или;

- уравнения, требующие преобразования по формуле тригонометрической единицы;

- уравнения, требующие преобразования по формуле связи tgx и с tgx :

2 тип – однородные уравнения, в которых каждое слагаемое имеет одну и туже степень: разделим уравнение на,затем замена.

Алгоритм решения:

1. Определите тип уравнения. При необходимости преобразуйте уравнение так, что бы в нём присутствовала только одна тригонометрическая функция.

Для этого выбери нужную формулу:

или или раздели на

2. Вводится замена (например, sinx = t , cosx = t , tgx = t ).

3. Решите квадратное уравнение.

4. Производится обратная замена, и решается простейшее тригонометрическое уравнение.

5. Запиши ответ.

Преподаватель проводит оценивание работы обучаемых, учебных групп и объявляет оценки.

Преподаватель: «Запишите домашнее задание: Башмаков М.И. Математика: учебник для начального и среднего проф. образования.– М.; «Академия», 2010. Стр. 114-115. В номере 10 решить уравнения № 4,5,7,9. стр. 118. Выполните проверку результата в редакторе Microsoft Excel ».

Тема урока: «Решение тригонометрических уравнений, методом введения новой переменной»

Тип урока: урок изучения нового материала

Цели урока: Образовательная: закрепить знания и умения решения простейших

тригонометрических уравнений, научить решать тригонометрические уравнения

методом введения новой переменной.

Развивающая: развить умение решения тригонометрических уравнений, развить

способность быстро и верно определять тип уравнения и способ его решения.

Воспитательная: формировать культуру труда и уважения друг к другу.

План урока: 1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

3. Актуализация знаний.

4. Изучение нового материала.

5. Закрепление нового материала.

6. Физкультминутка.

7. Первичный контроль знаний.

8. Подведение итогов.

9. Рефлексия.

10. Домашнее задание.

Ход урока.

1. Организационный момент .

2. Проверка домашнего задания. 18 № 13(в)

3. Актуализация знаний. Решить уравнение:

sin x = 0

cos х = 1

cos х = 2

tg x =

с tg х = 0

1. х 2 + 3х =0

   х 2 – 9 = 0

   3х 2 + 29 = 0

   х 2 +5х +6 = 0

   х 4 +2х 2 – 3 = 0

Как называются уравнения, записанные в левой колонке? в правой колонке?

Какими методами применяли для решения уравнений, левой колонки?

sin 2 x - 6 sin x + 5 =0

Как вы думаете, а какая тема урока будет сегодня?

Открыли тетради записали число, классная работа, тема урока: « Решение тригонометрических уравнений, методом введения новой переменной».

Какую цель поставим на урок? Научить решать тригонометрические уравнения, методом замены переменной.

4. Изучение нового материала.

На данном занятии будут рассмотрены наиболее часто встречающийся метод решения тригонометрических уравнений.

Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным .

К этому классу могут быть отнесены уравнения, в которые входят одна функция (синус или косинус, тангенс или котангенс) или две функции одного аргумента, но одна их них с помощью основных тригонометрических тождеств сводится ко второй. а sin 2 x + bsin x + c =0, a .

Например, если c о s х входит в уравнение в четных степенях, то заменяем его на 1- sin 2 x , если sin 2 x , то его заменяем на 1- cos 2 x .

5. Закрепление нового материала.

Пример.

Решить уравнение: sin 2 x - 6 sin x + 5 =0, 2 sin 2 х - 3 cos х -3 = 0 .

6. Физкультминутка.

Задание для снятия утомляемости глаз: нельзя водить руками, а лишь только глазами В таблице расположены числа от 1 до 20, но четыре числа пропущены. Ваша задача: назвать эти числа.

7. Первичный контроль

Работа в парах: решить уравнение:

1. 3tg 2 x +2 tg x-1=0;

2. 5sin 2 x+ 6cos x -6 = 0.

Обсуждаем решения уравнений, решаем, а затем проверяем решения с доской.

1. 3 tg 2 x +2 tg x -1= 0

Пусть tg x = t .

3 t 2 + 2 t – 1 = 0

D = 16

t 1 = , t 2 = -1.

tg x = или tg x = -1

х = arctg + Z x = - + Z

2. 5 sin 2 x + 6cos x - 6 = 0

5( 1 - с os 2 x ) + 6cos x - 6 = 0

5 cos 2 x - 6cos x +1 = 0

Пусть cos x =t.

5 t 2 - 6 t + 1 = 0

D = 16

t 1 = , t 2 = 1.

Вернёмся к исходной переменной:

cos x = или cos x = 1

х = arccos + Z x = Z

8. Закрепление.

Решите уравнения:

1. 2 с tg 2 x + 3 с tg x + 3= 5;

2. 2sin 2 - sin х + 2 = 3.

1. Решите уравнение 2 cos 2 x - 3 cos (x ) - 3 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [ - ; ].

2. 3tg x - 2 с tg x = 5

Каждый вариант решает уравнения и сверяется с ответами на доске. За эту работу ребята себя сами оценивают. Листочки с решениями сдают. На следующем уроке объявлю оценки за эту работу.

8. Подведение итогов .

Вспомните: Какая тема урока? Какую цель мы сегодня поставили на урок? Достигли ли нашей цели?

9. Рефлексия.

"На сегодняшнем уроке я разобрался…";

"Я похвалил бы себя…";

"Особенно мне понравилось…";

"Сегодня мне удалось…";

"Я сумел…";

"Было трудно…";

"Я понял, что…";

"Теперь я могу…";

"Я почувствовал, что…";

"Я научился…";

"Меня удивило…"

10. Домашнее задание.

1) §18, № 6(в), 8(б), 9(а), 21(а).

2) §18, № 7(б), 9(г). Задачи №1 или 2.

1. Решите уравнение + 4 tg x - 6 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [ ; ].

2. = 0.

Работа в парах

1. 3 tg 2 x +2 tg x -1=0;

2. 5 sin 2 x + 6 cos x -6 = 0.

Работа в парах

1. 3tg 2 x +2 tg x-1=0;

2. 5sin 2 x+ 6cos x -6 = 0.

Работа в парах

1. 3 tg 2 x +2 tg x -1=0;

2. 5 sin 2 x + 6 cos x -6 = 0.

Работа в парах

1. 3 tg 2 x +2 tg x -1=0;

2. 5 sin 2 x + 6 cos x -6 = 0.

Работа в парах

1. 3tg 2 x +2 tg x-1=0;

2. 5sin 2 x+ 6cos x -6 = 0.

Домашнее задание:

1. Решите уравнение + 4 tg x

[ ; ].

2. Решите уравнение

Домашнее задание:

1. Решите уравнение + 4 tg x - 6 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку

[ ; ].

2. Решите уравнение

Домашнее задание:

1. Решите уравнение + 4 tg x - 6 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку

[ ; ].

2. Решите уравнение

Домашнее задание:

1. Решите уравнение + 4 tg x - 6 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку

[ ; ].

2. Решите уравнение

Домашнее задание:

1. Решите уравнение + 4 tg x - 6 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку

[ ; ].

2. Решите уравнение

Домашнее задание:

1. Решите уравнение + 4 tg x - 6 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку

[ ; ].

2. Решите уравнение

Домашнее задание:

1. Решите уравнение + 4 tg x - 6 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку

[ ; ].

2. Решите уравнение

Домашнее задание:

1. Решите уравнение + 4 tg x - 6 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку

[ ; ].

2. Решите уравнение

Домашнее задание:

1. Решите уравнение + 4 tg x - 6 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку

[ ; ].

2. Решите уравнение

Домашнее задание:

1. Решите уравнение + 4 tg x - 6 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку

[ ; ].

2. Решите уравнение

Вы можете заказать подробное решение вашей задачи !!!

Равенство, содержащее неизвестную под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, именно их формулы мы и рассмотрим дальше.

Простейшими называются уравнения `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, где `x` — угол, который нужно найти, `a` — любое число. Запишем для каждого из них формулы корней.

1. Уравнение `sin x=a`.

При `|a|>1` не имеет решений.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное число решений.

Формула корней: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Уравнение `cos x=a`

При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное множество решений.

Формула корней: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.

3. Уравнение `tg x=a`

Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Уравнение `ctg x=a`

Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

Для синуса:
Для косинуса:
Для тангенса и котангенса:
Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

• с помощью преобразовать его до простейшего;
• решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы.

Рассмотрим на примерах основные методы решения.

Алгебраический метод.

В этом методе делается замена переменной и ее подстановка в равенство.

Пример. Решить уравнение: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 — x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

делаем замену: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, тогда `2y^2-3y+1=0`,

находим корни: `y_1=1, y_2=1/2`, откуда следуют два случая:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Ответ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Разложение на множители.

Пример. Решить уравнение: `sin x+cos x=1`.

Решение. Перенесем влево все члены равенства: `sin x+cos x-1=0`. Используя , преобразуем и разложим на множители левую часть:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Ответ: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Приведение к однородному уравнению

Вначале нужно данное тригонометрическое уравнение привести к одному из двух видов:

`a sin x+b cos x=0` (однородное уравнение первой степени) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (однородное уравнение второй степени).

Потом разделить обе части на `cos x \ne 0` — для первого случая, и на `cos^2 x \ne 0` — для второго. Получим уравнения относительно `tg x`: `a tg x+b=0` и `a tg^2 x + b tg x +c =0`, которые нужно решить известными способами.

Пример. Решить уравнение: `2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=1`.

Решение. Запишем правую часть, как `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени, разделим его левую и правую части на `cos^2 x \ne 0`, получим:

`\frac {sin^2 x}{cos^2 x}+\frac{sin x cos x}{cos^2 x} — \frac{2 cos^2 x}{cos^2 x}=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Введем замену `tg x=t`, в результате `t^2 + t — 2=0`. Корни этого уравнения: `t_1=-2` и `t_2=1`. Тогда:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Ответ. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Переход к половинному углу

Пример. Решить уравнение: `11 sin x — 2 cos x = 10`.

Решение. Применим формулы двойного угла, в результате: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Применив описанный выше алгебраический метод, получим:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Введение вспомогательного угла

В тригонометрическом уравнении `a sin x + b cos x =c`, где a,b,c — коэффициенты, а x — переменная, разделим обе части на `sqrt {a^2+b^2}`:

`\frac a{sqrt {a^2+b^2}} sin x +` `\frac b{sqrt {a^2+b^2}} cos x =` `\frac c{sqrt {a^2+b^2}}`.

Коэффициенты в левой части имеют свойства синуса и косинуса, а именно сумма их квадратов равна 1 и их модули не больше 1. Обозначим их следующим образом: `\frac a{sqrt {a^2+b^2}}=cos \varphi`, ` \frac b{sqrt {a^2+b^2}} =sin \varphi`, `\frac c{sqrt {a^2+b^2}}=C`, тогда:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Подробнее рассмотрим на следующем примере:

Пример. Решить уравнение: `3 sin x+4 cos x=2`.

Решение. Разделим обе части равенства на `sqrt {3^2+4^2}`, получим:

`\frac {3 sin x} {sqrt {3^2+4^2}}+` `\frac{4 cos x}{sqrt {3^2+4^2}}=` `\frac 2{sqrt {3^2+4^2}}`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Обозначим `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Так как `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, то в качестве вспомогательного угла возьмем `\varphi=arcsin 4/5`. Тогда наше равенство запишем в виде:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Применив формулу суммы углов для синуса, запишем наше равенство в следующем виде:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Дробно-рациональные тригонометрические уравнения

Это равенства с дробями, в числителях и знаменателях которых есть тригонометрические функции.

Пример. Решить уравнение. `\frac {sin x}{1+cos x}=1-cos x`.

Решение. Умножим и разделим правую часть равенства на `(1+cos x)`. В результате получим:

`\frac {sin x}{1+cos x}=` `\frac {(1-cos x)(1+cos x)}{1+cos x}`

`\frac {sin x}{1+cos x}=` `\frac {1-cos^2 x}{1+cos x}`

`\frac {sin x}{1+cos x}=` `\frac {sin^2 x}{1+cos x}`

`\frac {sin x}{1+cos x}-` `\frac {sin^2 x}{1+cos x}=0`

`\frac {sin x-sin^2 x}{1+cos x}=0`

Учитывая, что знаменатель равным быть нулю не может, получим `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Приравняем к нулю числитель дроби: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Учитывая, что ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решениями будут `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!

Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.

Основными методами решения тригонометрических уравнений являются: сведение уравнений к простейшим (с использованием тригонометрических формул), введение новых переменных, разложение на множители. Рассмотрим их применение на примерах. Обратите внимание на оформление записи решений тригонометрических уравнений.

Необходимым условием успешного решения тригонометрических уравнений является знание тригонометрических формул (тема 13 работы 6).

Примеры.

1. Уравнения, сводящиеся к простейшим.

1) Решить уравнение

Решение:

Ответ:

2) Найти корни уравнения

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, принадлежащие отрезку .

Решение:

Ответ:

2. Уравнения, сводящиеся к квадратным.

1) Решить уравнение 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Решение: Используя формулу sin 2 x = 1 – cos 2 x, получаем

Ответ:

2) Решить уравнение cos 2x = 1 + 4 cosx.

Решение: Используя формулу cos 2x = 2 cos 2 x – 1, получаем

Ответ:

3) Решить уравнение tgx – 2ctgx + 1 = 0

Решение:

Ответ:

3. Однородные уравнения

1) Решить уравнение 2sinx – 3cosx = 0

Решение: Пусть cosx = 0, тогда 2sinx = 0 и sinx = 0 – противоречие с тем, что sin 2 x + cos 2 x = 1. Значит cosx ≠ 0 и можно поделить уравнение на cosx. Получим

Ответ:

2) Решить уравнение 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Решение:

Используем формулы 1 = sin 2 x + cos 2 x и sin 2x = 2 sinxcosx, получим

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Пусть cosx = 0, тогда sin 2 x = 0 и sinx = 0 – противоречие с тем, что sin 2 x + cos 2 x = 1.
Значит cosx ≠ 0 и можно поделить уравнение на cos 2 x. Получим

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Обозначим tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y 2 = 2
а) tgx = 4, x= arctg4 + 2 k , k
б) tgx = 2, x= arctg2 + 2 k , k .

Ответ: arctg4 + 2 k , arctg2 + 2 k, k

4. Уравнения вида a sinx + b cosx = с, с ≠ 0.

1) Решить уравнение .

Решение:

Ответ:

5. Уравнения, решаемые разложением на множители.

1) Решить уравнение sin2x – sinx = 0.

Корнем уравнения f ( х ) = φ ( х ) может служить только число 0. Проверим это:

cos 0 = 0 + 1 – равенство верно.

Число 0 единственный корень данного уравнения.

Ответ: 0.

Урок и презентация на тему: "Решение простейших тригонометрических уравнений"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса от 1С
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение в пространстве
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"

Что будем изучать:
1. Что такое тригонометрические уравнения?

3. Два основных метода решения тригонометрических уравнений.
4. Однородные тригонометрические уравнения.
5. Примеры.

Что такое тригонометрические уравнения?

Ребята, мы с вами изучили уже арксинуса, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Теперь давайте посмотрим на тригонометрические уравнения в общем.

Тригонометрические уравнения – уравнения в котором переменная содержится под знаком тригонометрической функции.

Повторим вид решения простейших тригонометрических уравнений:

1)Если |а|≤ 1, то уравнение cos(x) = a имеет решение:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Если |а|≤ 1, то уравнение sin(x) = a имеет решение:

3) Если |а| > 1, то уравнение sin(x) = a и cos(x) = a не имеют решений 4) Уравнение tg(x)=a имеет решение: x=arctg(a)+ πk

5) Уравнение ctg(x)=a имеет решение: x=arcctg(a)+ πk

Для всех формул k- целое число

Простейшие тригонометрические уравнения имеют вид: Т(kx+m)=a, T- какая либо тригонометрическая функция.

Пример.

Решить уравнения: а) sin(3x)= √3/2

Решение:

А) Обозначим 3x=t, тогда наше уравнение перепишем в виде:

Решение этого уравнения будет: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Из таблицы значений получаем: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Вернемся к нашей переменной: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Тогда x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Ответ: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, где n-целое число. (-1)^n – минус один в степени n.

Ещё примеры тригонометрических уравнений.

Решить уравнения: а) cos(x/5)=1 б)tg(3x- π/3)= √3

Решение:

А) В этот раз перейдем непосредственно к вычислению корней уравнения сразу:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Тогда x/5= πk => x=5πk

Ответ: x=5πk, где k – целое число.

Б) Запишем в виде: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Мы знаем что: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Ответ: x=2π/9 + πk/3, где k – целое число.

Решить уравнения: cos(4x)= √2/2. И найти все корни на отрезке .

Решение:

Решим в общем виде наше уравнение: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Теперь давайте посмотрим какие корни попадут на наш отрезок. При k При k=0, x= π/16, мы попали в заданный отрезок .
При к=1, x= π/16+ π/2=9π/16, опять попали.
При k=2, x= π/16+ π=17π/16, а тут вот уже не попали, а значит при больших k тоже заведомо не будем попадать.

Ответ: x= π/16, x= 9π/16

Два основных метода решения.

Мы рассмотрели простейшие тригонометрические уравнения, но существуют и более сложные. Для их решения применяют метод ввода новой переменной и метод разложения на множители. Давайте рассмотрим примеры.

Решим уравнение:

Решение:
Для решения нашего уравнения воспользуемся методом ввода новой переменной, обозначим: t=tg(x).

В результате замены получим: t 2 + 2t -1 = 0

Найдем корни квадратного уравнения: t=-1 и t=1/3

Тогда tg(x)=-1 и tg(x)=1/3, получили простейшее тригонометрическое уравнение, найдем его корни.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Ответ: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Пример решения уравнения

Решить уравнений: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Решение:

Воспользуемся тождеством: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Наше уравнение примет вид:2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Введем замену t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Решением нашего квадратного уравнения являются корни: t=2 и t=-1/2

Тогда cos(x)=2 и cos(x)=-1/2.

Т.к. косинус не может принимать значения больше единицы, то cos(x)=2 не имеет корней.

Для cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Ответ: x= ±2π/3 + 2πk

Однородные тригонометрические уравнения.

Определение: Уравнение вида a sin(x)+b cos(x) называются однородными тригонометрическими уравнениями первой степени.

Уравнения вида

однородными тригонометрическими уравнениями второй степени.

Для решения однородного тригонометрического уравнения первой степени разделим его на cos(x): Делить на косинус нельзя если он равен нулю, давайте убедимся что это не так:
Пусть cos(x)=0, тогда asin(x)+0=0 => sin(x)=0, но синус и косинус одновременно не равны нулю, получили противоречие, поэтому можно смело делить на ноль.

Решить уравнение:
Пример: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Решение:

Вынесем общий множитель: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Тогда нам надо решить два уравнения:

Cos(x)=0 и cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 при x= π/2 + πk;

Рассмотрим уравнение cos(x)+sin(x)=0 Разделим наше уравнение на cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Ответ: x= π/2 + πk и x= -π/4+πk

Как решать однородные тригонометрические уравнения второй степени?
Ребята, придерживайтесь этих правил всегда!

1. Посмотреть чему равен коэффициент а, если а=0 то тогда наше уравнение примет вид cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), пример решения которого на предыдущем слайде

2. Если a≠0, то нужно поделить обе части уравнения на косинус в квадрате, получим:

Делаем замену переменной t=tg(x) получаем уравнение:

Решить пример №:3

Решить уравнение:
Решение:

Разделим обе части уравнения на косинус квадрат:

Делаем замену переменной t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Найдем корни квадратного уравнения: t=-3 и t=1

Тогда: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Ответ: x=-arctg(3) + πk и x= π/4+ πk

Решить пример №:4

Решить уравнение:

Решение:
Преобразуем наше выражение:

Решать такие уравнение мы умеем: x= - π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk

Ответ: x= - π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk

Решить пример №:5

Решить уравнение:

Решение:
Преобразуем наше выражение:

Введем замену tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Решением нашего квадратного уравнения будут корни: t=-2 и t=1/2

Тогда получаем: tg(2x)=-2 и tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Ответ: x=-arctg(2)/2 + πk/2 и x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Задачи для самостоятельного решения.

1) Решить уравнение

А) sin(7x)= 1/2 б) cos(3x)= √3/2 в) cos(-x) = -1 г) tg(4x) = √3 д) ctg(0.5x) = -1.7

2) Решить уравнения: sin(3x)= √3/2. И найти все корни на отрезке [π/2; π ].

3) Решить уравнение: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Решить уравнение: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Решить уравнение:3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6)Решить уравнение:cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)