Признаки сходимости рядов.
Признак Даламбера. Признаки Коши

Работайте, работайте – а понимание придёт потом
Ж.Л. Даламбер

Всех поздравляю с началом учебного года! Сегодня 1 сентября, и я решил в честь праздника познакомить читателей с тем, что вы давно с нетерпением ждали и жаждали узнать – признаками сходимости числовых положительных рядов . Праздник Первое сентября и мои поздравления всегда актуальны, ничего страшного, если на самом деле за окном лето, вы же сейчас в третий раз пересдаете экзамен учитесь, если зашли на эту страничку!

Для тех, кто только начинает изучать ряды, рекомендую для начала ознакомиться со статьей Числовые ряды для чайников . Собственно, данная телега является продолжением банкета. Итак, сегодня на уроке мы рассмотрим примеры и решения по темам:

Одним из распространенных признаков сравнения, который встречается в практических примерах, является признак Даламбера. Признаки Коши встречаются реже, но тоже весьма популярны. Как всегда, постараюсь изложить материал просто, доступно и понятно. Тема не самая сложная, и все задания в известной степени трафаретны.

Признак сходимости Даламбера

Жан Лерон Даламбер – это знаменитый французский математик 18-го века. Вообще, Даламбер специализировался на дифференциальных уравнениях и на основании своих исследований занимался баллистикой, чтобы у Его Величества лучше летали пушечные ядра. Заодно и про числовые ряды не забыл, не зря потом шеренги наполеоновских войск так четко сходились и расходились.

Перед тем как сформулировать сам признак, рассмотрим важный вопрос:
Когда нужно применять признак сходимости Даламбера?

Сначала начнем с повторения. Вспомним случаи, когда нужно применять самый ходовой предельный признак сравнения . Предельный признак сравнения применяется тогда, когда в общем члене ряда:

1) В знаменателе находится многочлен.
2) Многочлены находятся и в числителе и в знаменателе.
3) Один или оба многочлена могут быть под корнем.
4) Многочленов и корней, разумеется, может быть и больше.

Основные же предпосылки для применения признака Даламбера следующие:

1) В общий член ряда («начинку» ряда) входит какое-нибудь число в степени, например, , , и так далее. Причем, совершенно не важно, где эта штуковина располагается, в числителе или в знаменателе – важно, что она там присутствует.

2) В общий член ряда входит факториал. С факториалами мы скрестили шпаги ещё на уроке Числовая последовательность и её предел . Впрочем, не помешает снова раскинуть скатерть-самобранку:





…


…

! При использовании признака Даламбера нам как раз придется расписывать факториал подробно. Как и в предыдущем пункте, факториал может располагаться вверху или внизу дроби.

3) Если в общем члене ряда есть «цепочка множителей», например, . Этот случай встречается редко, но! При исследовании такого ряда часто допускают ошибку – см. Пример 6.

Вместе со степенями или (и) факториалами в начинке ряда часто встречаются многочлены, это не меняет дела – нужно использовать признак Даламбера.

Кроме того, в общем члене ряда может встретиться одновременно и степень и факториал; может встретиться два факториала, две степени, важно чтобы там находилось хоть что-то из рассмотренных пунктов – и это как раз предпосылка для использования признака Даламбера.

Признак Даламбера : Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему: , то:
а) При ряд сходится
б) При ряд расходится
в) При признак не дает ответа . Нужно использовать другой признак. Чаще всего единица получается в том случае, когда признак Даламбера пытаются применить там, где нужно использовать предельный признак сравнения .

У кого до сих пор проблемы с пределами или недопонимание пределов, обратитесь к уроку Пределы. Примеры решений . Без понимания предела и умения раскрывать неопределенность дальше, к сожалению, не продвинуться.

А сейчас долгожданные примеры.

Пример 1

Мы видим, что в общем члене ряда у нас есть , а это верная предпосылка того, что нужно использовать признак Даламбера. Сначала полное решение и образец оформления, комментарии ниже.

Используем признак Даламбера:


сходится.

(1) Составляем отношение следующего члена ряда к предыдущему: . Из условия мы видим, что общий член ряда . Для того, чтобы получить следующий член ряда необходимо вместо подставить : .
При определенном опыте решения этот шаг можно пропускать.
(3) В числителе раскрываем скобки. В знаменателе выносим четверку из степени.
(4) Сокращаем на . Константу выносим за знак предела. В числителе в скобках приводим подобные слагаемые.
(5) Неопределенность устраняется стандартным способом – делением числителя и знаменателя на «эн» в старшей степени.
(6) Почленно делим числители на знаменатели, и указываем слагаемые, которые стремятся к нулю.
(7) Упрощаем ответ и делаем пометку, что с выводом о том, что, по признаку Даламбера исследуемый ряд сходится.

В рассмотренном примере в общем члене ряда у нас встретился многочлен 2-й степени. Что делать, если там многочлен 3-й, 4-й или более высокой степени? Дело в том, что если дан многочлен более высокой степени, то возникнут трудности с раскрытием скобок. В этом случае можно применять «турбо»-метод решения.

Пример 2

Возьмём похожий ряд и исследуем его на сходимость

Сначала полное решение, потом комментарии:

Используем признак Даламбера:


Таким образом, исследуемый ряд сходится .

(1) Составляем отношение .
(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.
(3) Рассмотрим выражение в числителе и выражение в знаменателе. Мы видим, что в числителе нужно раскрывать скобки и возводить в четвертую степень: , чего делать совершенно не хочется. А для тех, кто не знаком с биномом Ньютона , эта задача окажется ещё сложнее. Проанализируем старшие степени: если мы вверху раскроем скобки , то получим старшую степень . Внизу у нас такая же старшая степень: . По аналогии с предыдущим примером, очевидно, что при почленном делении числителя и знаменателя на у нас в пределе получится единица. Или, как говорят математики, многочлены и – одного порядка роста . Таким образом, вполне можно обвести отношение простым карандашом и сразу указать, что эта штука стремится к единице. Аналогично расправляемся со второй парой многочленов: и , они тоже одного порядка роста , и их отношение стремится к единице.

На самом деле, такую «халтуру» можно было провернуть и в Примере № 1, но для многочлена 2-й степени такое решение смотрится всё-таки как-то несолидно. Лично я поступаю так: если есть многочлен (или многочлены) первой или второй степени, я использую «длинный» способ решения Примера 1. Если попадается многочлен 3-й и более высоких степеней, я использую «турбо»-метод по образцу Примера 2.

Пример 3

Исследовать ряд на сходимость

Рассмотрим типовые примеры с факториалами:

Пример 4

Исследовать ряд на сходимость

В общий член ряда входит и степень, и факториал. Ясно, как день, что здесь надо использовать признак Даламбера. Решаем.

Таким образом, исследуемый ряд расходится .

(1) Составляем отношение . Повторяем еще раз. По условию общий член ряда: . Для того чтобы получить следующий член ряда, вместо нужно подставить , таким образом: .
(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.
(3) Отщипываем семерку от степени. Факториалы расписываем подробно . Как это сделать – см. начало урока или статью о числовых последовательностях .
(4) Сокращаем всё, что можно сократить.
(5) Константу выносим за знак предела. В числителе раскрываем скобки.
(6) Неопределенность устраняем стандартным способом – делением числителя и знаменателя на «эн» в старшей степени.

Пример 5

Исследовать ряд на сходимость

Полное решение и образец оформления в конце урока

Пример 6

Исследовать ряд на сходимость

Иногда встречаются ряды, которые в своей начинке содержат «цепь» множителей, этот тип ряда мы еще не рассматривали. Как исследовать ряд с «цепочкой» множителей? Использовать признак Даламбера. Но сначала для понимания происходящего распишем ряд подробно:

Из разложения мы видим, что у каждого следующего члена ряда добавляется дополнительный множитель в знаменателе, поэтому, если общий член ряда , то следующий член ряда:
. Вот здесь часто автоматом допускают ошибку, формально по алгоритму записывая, что

Примерный образец решения может выглядеть так:

Используем признак Даламбера:

Таким образом, исследуемый ряд сходится.

Радикальный признак Коши

Огюстен Луи Коши – еще более знаменитый французский математик. Биографию Коши вам может рассказать любой студент технической специальности. В самых живописных красках. Не случайно эта фамилия высечена на первом этаже Эйфелевой башни.

Признак сходимости Коши для положительных числовых рядов чем-то похож на только что рассмотренный признак Даламбера.

Радикальный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел: , то:
а) При ряд сходится . В частности, ряд сходится при .
б) При ряд расходится . В частности, ряд расходится при .
в) При признак не дает ответа . Нужно использовать другой признак. Интересно отметить, что если признак Коши не даёт нам ответа на вопрос о сходимости ряда, то признак Даламбера тоже не даст ответа. Но если признак Даламбера не даёт ответа, то признак Коши вполне может «сработать». То есть, признак Коши является в этом смысле более сильным признаком.

Когда нужно использовать радикальный признак Коши? Радикальный признак Коши обычно использует в тех случаях, когда общий член ряда ПОЛНОСТЬЮ находится в степени, зависящей от «эн» . Либо когда корень «хорошо» извлекается из общего члена ряда. Есть еще экзотические случаи, но ими голову забивать не будем.

Пример 7

Исследовать ряд на сходимость

Мы видим, что общий член ряда полностью находится под степенью, зависящей от , а значит, нужно использовать радикальный признак Коши:


Таким образом, исследуемый ряд расходится .

(1) Оформляем общий член ряда под корень.
(2) Переписываем то же самое, только уже без корня, используя свойство степеней .
(3) В показателе почленно делим числитель на знаменатель, указывая, что
(4) В результате у нас получилась неопределенность . Здесь можно было пойти длинным путем: возвести в куб, возвести в куб, потом разделить числитель и знаменатель на «эн» в старшей степени. Но в данном случае есть более эффективное решение: можно почленно поделить числитель и знаменатель прямо под степенью-константой. Для устранения неопределенности делим числитель и знаменатель на (старшую степень).
(5) Собственно выполняем почленное деление, и указываем слагаемые, которые стремятся к нулю.
(6) Доводим ответ до ума, помечаем, что и делаем вывод о том, что ряд расходится.

А вот более простой пример для самостоятельного решения:

Пример 8

Исследовать ряд на сходимость

И еще пара типовых примеров.

Полное решение и образец оформления в конце урока

Пример 9

Исследовать ряд на сходимость
Используем радикальный признак Коши:


Таким образом, исследуемый ряд сходится .

(1) Помещаем общий член ряда под корень.
(2) Переписываем то же самое, но уже без корня, при этом раскрываем скобки, используя формулу сокращенного умножения: .
(3) В показателе почленно делим числитель на знаменатель и указываем, что .
(4) Получена неопределенность вида . Здесь можно прямо в скобке почленно поделить числитель на знаменатель на «эн» в старшей степени. Нечто подобное у нас встречалось при изучении второго замечательного предела . Но здесь ситуация другая. Если бы коэффициенты при старших степенях были одинаковыми , например: , то фокус с почленным делением уже бы не прошел, и надо было бы использовать второй замечательный предел. Но у нас эти коэффициенты разные (5 и 6), поэтому можно (и нужно) делить почленно (кстати, наоборот – второй замечательный предел при разных коэффициентах при старших степенях уже не прокатывает). Если помните, эти тонкости рассматривались в последнем параграфе статьи Методы решения пределов .
(5) Собственно выполняем почленное деление и указываем, какие слагаемые у нас стремятся к нулю.
(6) Неопределенность устранена, у нас остался простейший предел: . Почему в бесконечно большой степени стремится к нулю? Потому что основание степени удовлетворяет неравенству . Если у кого есть сомнения в справедливости предела , то я не поленюсь, возьму в руки калькулятор:
Если , то
Если , то
Если , то
Если , то
Если , то
… и т.д. до бесконечности – то есть, в пределе:

Прямо таки бесконечно убывающая геометрическая прогрессия на пальцах =)

(7) Указываем, что и делаем вывод о том, что ряд сходится.

Пример 10

Исследовать ряд на сходимость

Это пример для самостоятельного решения.

Иногда для решения предлагается провокационный пример, например: . Здесь в показателе степени нет «эн» , только константа. Тут нужно возвести в квадрат числитель и знаменатель (получатся многочлены), а далее придерживаться алгоритма из статьи Ряды для чайников . В подобном примере сработать должен либо необходимый признак сходимости ряда либо предельный признак сравнения.

Интегральный признак Коши

Или просто интегральный признак. Разочарую тех, кто плохо усвоил материал первого курса. Для того чтобы применять интегральный признак Коши необходимо более или менее уверенно уметь находить производные, интегралы, а также иметь навык вычисления несобственного интеграла первого рода.

В учебниках по математическому анализу интегральный признак Коши дан математически строго, но слишком уж поморочено, поэтому я сформулирую признак не слишком строго, но понятно:

Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует несобственный интеграл , то ряд сходится или расходится вместе с этим интегралом.

И сразу примеры для пояснения:

Пример 11

Исследовать ряд на сходимость

Почти классика. Натуральный логарифм и какая-нибудь бяка.

Основной предпосылкой использования интегрального признака Коши является тот факт, что в общем члене ряда содержатся множители, похожие на некоторую функцию и её производную. Из темы Производная вы наверняка запомнили простейшую табличную вещь: , и у нас как раз такой каноничный случай.

От артиллерийского офицера Детуша. Вскоре после рождения младенец был подкинут матерью на ступени парижской «Круглой церкви св. Иоанна» (фр. Jean le Rond). В честь этой церкви ребёнок был назван Жаном Лероном. Воспитывался в усыновившей его семье стекольщика Руссо.

Отец в это время был за границей. Вернувшись во Францию, Детуш привязался к сыну, часто навещал его, помогал приёмным родителям и оплатил образование Даламбера, хотя официально признать не решился. Мать-маркиза никакого интереса к сыну так и не проявила. Позднее, став знаменитым, Даламбер никогда не забывал стекольщика и его жену, помогал им материально и всегда с гордостью называл своими родителями.

Фамилия д’Аламбер, по одним сведениям, произведена из имени его приёмного отца Аламбера, по другим - придумана самим мальчиком или его опекунами: сначала Жан Лерон был записан в школе как Дарамбер (Daremberg), потом сменил это имя на D’Alembert.

1726: Детуш, уже ставший генералом, неожиданно умирает. По завещанию Даламбер получает пособие в 1200 ливров в год и препоручается вниманию родственников. Мальчик воспитывается наряду с двоюродными братьями и сёстрами, но живёт по-прежнему в семье стекольщика. Он жил в доме приёмных родителей до 1765 года, то есть до 48-летнего возраста.

Рано проявившийся талант позволил мальчику получить хорошее образование - сначала в коллегии Мазарини (получил степень магистра свободных наук), затем в Академии юридических наук, где он получил звание лиценциата прав. Однако профессия адвоката ему была не по душе, и он стал изучать математику.

Уже в возрасте 22 лет Даламбер представил Парижской академии свои сочинения, а в 23 года был избран адъюнктом Академии.

1743: вышел «Трактат о динамике», где сформулирован фундаментальный «Принцип Д’Аламбера», сводящий динамику несвободной системы к статике. Здесь он впервые сформулировал общие правила составления дифференциальных уравнений движения любых материальных систем.

Позже этот принцип был применен им в трактате «Рассуждения об общей причине ветров» (1774) для обоснования гидродинамики, где он доказал существование наряду с океанскими также воздушных приливов.

1748: блестящее исследование задачи о колебаниях струны.

С 1751 года Д’Аламбер работал вместе с Дидро над созданием знаменитой «Энциклопедии наук, искусств и ремёсел». Статьи 17-томной «Энциклопедии», относящиеся к математике и физике, написаны Даламбером. В 1757 году, не выдержав преследований реакции, которым подвергалась его деятельность в «Энциклопедии», он отошёл от её издания и целиком посвятил себя научной работе (хотя статьи для «Энциклопедии» продолжал писать). «Энциклопедия» сыграла большую роль в распространении идей Просвещения и идеологической подготовке Французской революции.

1754: Даламбер становится членом Французской Академии.

1764: в статье «Размерность» (для Энциклопедии) впервые высказана мысль о возможности рассматривать время как четвёртое измерение.

Даламбер вёл активную переписку с российской императрицей Екатериной II . В середине 1760-х годов Даламбер был приглашён ею в Россию, в качестве воспитателя наследника престола, однако приглашения не принял.

1772: Даламбер избран непременным секретарём Французской Академии.

1783: после долгой болезни Даламбер умер. Церковь отказала «отъявленному атеисту» в месте на кладбище, и его похоронили в общей могиле, ничем не обозначенной.

В честь Даламбера названы кратер на обратной стороне Луны и горный хребет на видимой её стороне.

Научные достижения

Математика

В первых томах знаменитой «Энциклопедии» Д’Аламбер поместил важные статьи: «Дифференциалы», «Уравнения», «Динамика» и «Геометрия», в которых подробно излагал свою точку зрения на актуальные проблемы науки.

Исчисление бесконечно малых Д’Аламбер стремился обосновать с помощью теории пределов, близкой к ньютоновскому пониманию «метафизики анализа». Он назвал одну величину пределом другой, если вторая, приближаясь к первой, отличается от нее менее чем на любую заданную величину. «Дифференцирование уравнений состоит попросту в том, что находят пределы отношения конечных разностей двух переменных, входящих в уравнение» - эта фраза могла бы стоять и в современном учебнике. Он исключил из анализа понятие актуальной бесконечно малой, допуская его лишь для краткости речи.

Всякий человек, знакомый с механикой, знает закон Д’Аламбера, понимает его значение и с уважением произносит это имя. Истинный же математик и астроном говорит о Д’Аламбере с восторгом и благоговением, потому что видит в нем преемника Ньютона и великого учителя Лагранжа и Лапласа. Человек, обладающий широким общим образованием, непременно проникнут глубоким уважением к Д’Аламберу как к одному из главных сотрудников знаменитой «Энциклопедии» XVIII столетия.

Е.Ф. Литвинова

Жан Лерон Д’Аламбер (16 ноября 1717 - 29 октября 1783) - французский учёный-энциклопедист. Широко известен как философ, математик и механик.

Один из всестороннейших и влиятельнейших умов XVIII века Жан Лерон Д’Аламбер родился в Париже. Жизненный путь ученого начался весьма необычно. 16 ноября 1717 на паперти парижской церкви Сен-Жан-ле-Рон был найден младенец в кружевных пеленках. Вскоре выяснилось и его происхождение - подкидыш оказался внебрачным сыном писательницы Тансен и офицера Детуша. Когда Жан Лерон появился на свет (так он был назван по имени церкви, около которой был найден), его отца не было во Франции и мать решила избавиться от внебрачного ребенка. Вернувшись во Францию, Детуш разыскал сына, забрал его из деревни и поместил в семью стекольщика Руссо, где Жан прожил большую часть своей жизни. Отец часто навещал сына, радовался его детским шалостям и восторгался необыкновенными способностями малыша.

В 1726 году Детуш, уже ставший генералом, неожиданно умирает. По завещанию Д’Аламбер получает пособие в 1200 ливров в год и препоручается вниманию родственников. Мальчик воспитывается наряду с двоюродными братьями и сёстрами, но живёт по-прежнему в семье стекольщика. Он жил в доме приёмных родителей до 1765 года, то есть до 48-летнего возраста.

В четыре года Жана Лерона отдали в пансион, и с этого возраста он стал прилежно учиться, поражая учителей выдающимися умственными способностями.

В 13 лет он поступил в колледж имени Мазарини, по окончании которого получил звание бакалавра искусств. В училище Жан Лерон изучал языки (латынь и греческий он знал так, что в подлиннике мог читать Архимеда, Птоломея и других авторов), риторику, литературу, физику и математику. Последний предмет Д"Аламбер полюбил самозабвенно, чему немало способствовал его учитель Карон.

После окончания колледжа встал вопрос о выборе профессии. Родные Жана были против его увлечения математикой, и он поступил в двухгодичную академию юридических наук, из которой вышел в звании лиценциата прав (промежуточная степень между бакалавром и доктором). Затем Д"Аламбер начал изучать медицину. Чтобы от этих занятий его не отвлекала математика, Жан собрал все свои математические книги и отнес к приятелю. Но Жан уже не мог не думать о математике. Время от времени ему нужна была то одна книга, то другая - для справок, для проверки правильности найденного решения и т.д. Постепенно он перетащил всю свою библиотеку назад в дом супругов Руссо, где он жил. Одновременно Жан изучал философию, литературу и настолько преуспел в занятиях филологией, что в 23 года был избран во Французскую академию, т.е. стал одним из сорока "бессмертных".

Вся жизнь Д"Аламбера была заполнена неустанным трудом. Госпожа Руссо называла своего воспитанника философом и поясняла при этом, что "философ это такой странный человек, который лишает себя при жизни всего, работает как вол с утра до вечера, и все для того только, чтобы о нем говорили после его смерти". Но Д"Аламбер не думал о будущей славе. Он находил наслаждение в занятиях математикой. "Математика, - говорил он, - это моя самая старая и верная любовь".

Первые труды Д’Аламбера по математике и физике были посвящены движению твердых тел в жидкостях и интегральному исчислению. Известность Д"Аламберу принес «Трактат по динамике» (1743), в котором был описан метод сведения динамики твердых тел к статике (принцип Д"Аламбера). Согласно этому принципу движение твердых тел можно свести к движению отдельных частиц массы.

В 1746 в работе «Исследования по интегральному исчислению» он дал первое (не вполне строгое) доказательство основной теоремы алгебры о существовании корней алгебраического уравнения. Окончательное решение этой принадлежит Гауссу.

В 1747 ученый опубликовал статью по теории поперечных колебаний струн, где дал метод решения дифференциального уравнения 2-го порядка в частных производных. Он получил также важные результаты в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, ввел понятие предела, в теории рядов ввел достаточный признак сходимости, носящий его имя; размышлял о теории вероятностей (парадокс Д"Аламбера).

Вместе с Дидро был главным редактором знаменитой Энциклопедии, или Толкового словаря наук, искусств и ремесел (28 томов), где вел также физический и математический отделы. Кроме статей по математике и физике, он написал вводную главу - Очерк происхождения и развития наук, в которой, следуя в основном Ф. Бэкону, представил классификацию различных областей знания, проследил их возникновение и взаимосвязь, и провозгласил наступление эры естественных наук.

Д"Аламбер внес серьезный вклад в развитие фундаментальных принципов современной механики, его труды вместе с работами Эйлера, братьев Бернулли и Клеро заложили основания математической физики. Ему принадлежат классические работы по теории движения жидкости, задаче трех тел, нутации Земли, движению Луны, движению ветра и др. В механике он стремился обойтись без понятия силы, имевшего для него сильный «метафизический привкус». Математические работы Д"Аламбера основаны на принципе непрерывности Лейбница, позволившем ему ближе всего подойти к современному пониманию предела.

Д"Аламбер был избран во все существовавшие тогда академии наук (в Парижскую - в 1754 году, в Петербургскую - в 1764 году).

Д"Аламбер покровительствовал многим ученым. Так по его предложению прусский король Фридрих II назначил президентом Берлинской академии наук Ж.Л.Лагранжа. Сам Д"Аламбер отказался занять этот пост.

Отказался он и от предложения русской императрицы Екатерины II быть воспитателем ее сына Павла. Д"Аламбер говорил, что он не может жить вне Франции, вне Парижа. В последние годы жизни он занимался историей науки и написал биографии многих членов Парижской академии.

В личной жизни он был несчастлив. Семнадцать лет он безответно любил одну и ту же женщину - госпожу Леспинас. Когда она умерла, многое потеряло для него ценность.

Д"Аламбер умер 29 октября 1783 года одиноким стариком. Перед смертью долго и мучительно болел. Был такой же ненастный вечер, как и при его рождении. Завывал ветер и моросил мелкий дождь.

Имя Д"Аламбера носят следующие математические объекты:

• оператор Д’Аламбера
• признак Д’Аламбера
• принцип Д’Аламбера
• уравнение Д’Аламбера
• формула Д’Аламбера.

Жан Леро́н Д’Аламбе́р - французский учёный-энциклопедист. Широко известен как философ, математик и механик. Член Парижской академии наук, Французской Академии, Петербургской и других академий.

Жан Лерон Д"Аламбер (1717-1783) — французский математик, механик и философ-просветитель, иностранный почетный член Петербургской АН (1764). В 1751-57 вместе с Дени Дидро редактор «Энциклопедии». Сформулировал правила составления дифференциальных уравнений движения материальных систем (см. ниже Д"Аламбера принцип). Обосновал теорию возмущения планет. Труды по математическому анализу, теории дифференциальных уравнений, теории рядов, алгебре.

Д"Аламбера принцип: если к фактически действующим на точки механической системы силам и реакциям наложенных на нее связей механических присоединить силы инерции, то получится уравновешенная система сил. Д"Аламбера принцип позволяет применить к решению задач динамики более простые методы статики. (1743).

Происхождение. Образование

Д"Аламбер был незаконнорожденным отпрыском знатных родителей. Его мать, маркиза де Тансен, отказалась от него уже через несколько часов после того, как произвела его на свет. Он был найден в деревянном коробе на ступенях парижской церкви Сен-Жан-ле-Рон и поэтому при крещении получил имя Жан Ле Рон (Лерон). Его отец, шевалье Луи-Камю Детуш-Канон, генерал-лейтенант французской артиллерии, передал малыша на воспитание жене стекольщика. Он заплатил за его обучение в небольшом частном пансионе Берэ, а затем — в янсенистском коллеже Катр Насьон, в который юноша поступил в 1730.

Блестящие успехи в учебе привлекли к нему внимание наставников, рассчитывавших, что столь возвышенный ум изберет церковную карьеру. Однако Жан Лерон Д"Аламбер не оправдал их ожиданий. Получив в 1735 степень магистра искусств, он занялся правом. В 1738 он закончил в Париже юридический факультет, затем в течение нескольких месяцев посещал занятия на медицинском факультете, но разочаровался в медицине, как прежде в теологии и юриспруденции. Наконец, в 1739 он нашел свое призвание — математику.

Математик и физик

В 1741 Жан Лерон Д"Аламбер представил парижской Королевской Академии наук свои первые сочинения и был принят в качестве ассистента. Его знаменитый «Трактат о динамике» (1743) впервые сформулировал законы движения и способствовал систематизации классической механики. На следующий год он опубликовал «Трактат о равновесии и движении жидкостей» (1744). Эти работы принесли ему успех, и уже в 1746 он стал членом-корреспондентом Академии наук.

Примерно в тоже самое время Д"Аламбер начал посещать парижские салоны. Остроумие, умение поддерживать живую и занимательную беседу делали Д"Аламбера повсюду желанным гостем, несмотря на его тонкий голос, малый рост, заурядную внешность и «незаконное» происхождение.

Следующие десять лет были самыми плодотворными в его жизни. Жан Лерон Д"Аламбер опубликовал «Размышления об общей причине ветров» (1747), которые произвели революцию в применении дифференциальных уравнений; «Исследования о предварении равноденствий» (1749), которые способствовали разрешению сложной математической задачи, поставившей в тупик Исаака Ньютона; «Опыт новой теории сопротивления жидкостей» (1752), ставшей этапом в развитии гидродинамики. Затем последовали фундаментальные исследования, обосновавшие теорию возмущения небесных тел (1754-1756). Благодаря этим работам Д"Аламбер приобрел славу одного из выдающихся физиков и математиков своего времени.

Д"Аламбер и «Энциклопедия»

C 1745 Жан Лерон Д"Аламбер принял активное участие в создании «Энциклопедии». Вероятно, он был привлечен к этой работе одним из ее издателей, М. А. Давидом, публиковавшим прежде некоторые его научные труды, а также аббатом Ж. П. Гуа де Мальвом, первым главным редактором «Энциклопедии», увлекавшимся математикой.

Поначалу Д"Аламбер помогал аббату де Гуа, однако уже через два месяца после отстранения последнего (в октябре 1747) он вместе с Дени Дидро возглавил издание. В «Предварительном рассуждении», открывавшем первый том, Д"Аламбер обосновал методологическую плодотворность эмпиризма и сенсуализма для прогресса наук и ремесел. Отвечая за разделы по математике, физике, астрономии и музыке (только из под его пера вышло около 1600 статей), Жан Лерон Д"Аламбер написал и такие статьи, как «Коллеж» и «Женева», укрепивших репутацию «Энциклопедии» как грозного оружия борьбы со старым порядком.

Работая над «Энциклопедией», Д"Аламбер опубликовал «Элементы музыкальной теории и практики, вытекающие из принципов г-н Рамо» (1753), популяризировавшие и развивавшие теорию музыкальной гармонии Ж. Ф. Рамо. Затем вышли его многотомные «Размышления о литературе. истории и философии» (1753). Таким образом, Д"Аламбер составил себе имя и в литературе, и в теории музыки, а известность его вышла далеко за рамки научных кругов. В 1754 при поддержке влиятельной маркизы Дю Деффан Жан Лерон Д"Аламбер был избран членом Французской Академии.

Однако некоторые произведения Жана Лерона Д"Аламбер доставили ему не только почести, но и немало хлопот. Несмотря на то, что Д"Аламбер в своих энциклопедических статьях и других работах в целом высоко оценивал творчество Рамо, этот композитор в 1755 опубликовал критические замечания на статьи «Энциклопедии», посвященные музыке. Д"Аламбера часто обвиняли и в том, что его статьи подрывают основы религии. Он собирался покинуть издание еще в 1752, но решился на это лишь в 1758-59: после публикации в 7 томе (1757) статьи «Женева», написанной по совету Вольтера, на него обрушился шквал критики — как со стороны кальвинистов, так и католиков. Уход из «Энциклопедии» ухудшил и без того непростые отношения Д"Аламбера с Дидро. Впрочем, в 1759 он вернулся в «Энциклопедию», но лишь как автор естественнонаучных статей; главной причиной его возвращения была постоянная нужда в средствах.

Д"Аламбер и просвещенные монархи Европы

Финансовое положение Жана Лерона Д"Аламбер стало улучшаться в середине 1760-х годов. С 1765 он стал регулярно получать стипендию Академии наук. Его доходы пополнялись авторскими гонорарами, пенсионами от Людовика XV и Фридриха II, а также унаследованной от отца пожизненной рентой и ежегодной рентой, выплачиваемой ему хозяйкой известного парижского салона мадам Жоффрен.

Примерно в это же время Д"Аламбер, заботясь о своей независимости, отклонил два чрезвычайно заманчивых предложения. Первое исходило от Фридриха II. Жан Лерон Д"Аламбер познакомился с ним в 1755, хотя его научные труды получили признание в Пруссии еще раньше: в 1746 «Размышления об общей причине ветров» были удостоены премии Берлинской Академии наук и изящной словесности. С 1752 Фридрих II неоднократно пытался пригласить Д"Аламбера в Пруссию в качестве президента этой Академии, но тот регулярно отказывался. В результате с 1760 между ними завязалась знаменитая переписка, продолжавшаяся до смерти ученого. Д"Аламбер был весьма высокого мнения о прусском монархе, восхвалял его в своих сочинениях, а в 1763 гостил у него при дворе в течении трех месяцев.

Едва взойдя на престол в 1762, Екатерина II попросила Д"Аламбера заняться воспитанием ее сына и наследника Павла, предложив ему громадный годовой оклад в 100 тыс. ливров (от французского и прусского королей он получал ежегодно по 1200 ливров). Д"Аламбер ответил отказом, объяснив, что предпочитает скромно жить у себя на родине, чем наслаждаться роскошью на чужбине. Отказав Фридриху и Екатерине, Д"Аламбер, тем не менее, возлагал все надежды на обновление Европы именно на просвещенных монархов, поддерживаемых интеллектуальной элитой. Вместе с тем он с равным недоверием относился к аристократии, духовенству и народным массам.

Личная жизнь

Жан Лерон Д"Аламбер отказывался покинуть Париж из-за своей связи с Жюли де Леспинас, компаньонкой маркизы Дю Деффан. Их отношениям не помешала ни разница в возрасте (Д"Аламбер был на 15 лет старше), ни ревность мадам Дю Деффан. Однако Жюли не всегда была верна Д"Аламберу. В 1764 мадемуазель де Леспинас основала свой собственный салон.

Последние годы. Смерть Жана Лерона Д"Аламбера

Обремененный тяжкими недугами, переживая измены, а затем и смерть своей возлюбленной (1776), Жан Лерон Д"Аламбер на протяжении 1770-х годов постоянно находился в болезненно возбужденном состоянии. Последние годы жизни Д"Аламбера были связаны с Французской Академией. В 1772, несмотря на сопротивление Людовика ХV, он был избран ее непременным секретарем. Произнесенные им в стенах Академии речи показывают, что он считал это учреждение важным оплотом борьбы с невежеством.

Скептически относясь к религии на протяжении всей жизни, Жан Лерон Д"Аламбер встретил смерть 29 октября 1783, в Париже, не изменив себе, и отказался от последнего причастия. Парижский архиепископ запретил служить по нем заупокойную службу.

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

французский учёный-энциклопедист

Краткая биография

Жан Леро́н Д’Аламбе́р (д’Аламбер , Даламбер ; фр. Jean Le Rond D"Alembert, d"Alembert; 16 ноября 1717 - 29 октября 1783) - французский учёный-энциклопедист. Широко известен как философ, математик и механик. Член Парижской академии наук (1740), Французской Академии (1754), Петербургской (1764) и других академий.

Д’Аламбер был незаконным сыном маркизы де Тансен и, по всей вероятности, австрийского герцога Леопольда Филиппа Аренберга. Вскоре после рождения младенец был подкинут матерью на ступени парижской «Круглой церкви Св. Иоанна», которая располагалась у северной башни собора Собора Парижской Богоматери. По обычаю, в честь этой церкви ребёнок был назван Жаном Лероном. Вначале ребёнка поместили в Больницу Подкидышей. Затем доверенное лицо герцога артиллерийский офицер Луи-Камю Детуш, получивший деньги для воспитания мальчика, устроил его в семье стекольщика .

Вернувшись во Францию, Детуш привязался к мальчику, часто навещал его, помогал приёмным родителям и оплатил образование Д’Аламбера. Мать-маркиза никакого интереса к сыну так и не проявила. Позднее, став знаменитым, Д’Аламбер никогда не забывал стекольщика и его жену, помогал им материально и всегда с гордостью называл своими родителями.

Фамилия Д’Аламбер, по одним сведениям, произведена из имени его приёмного отца Аламбера, по другим - придумана самим мальчиком или его опекунами: сначала Жан Лерон был записан в школе как Дарамбер (Daremberg ), потом сменил это имя на D’Alembert .

1726: Детуш, уже ставший генералом, неожиданно умирает. По завещанию Д’Аламбер получает пособие в 1200 ливров в год и препоручается вниманию родственников. Мальчик воспитывается наряду с двоюродными братьями и сёстрами, но живёт по-прежнему в семье стекольщика. Он жил в доме приёмных родителей до 1765 года, то есть до 48-летнего возраста.

Рано проявившийся талант позволил мальчику получить хорошее образование - сначала в коллегии Мазарини (получил степень магистра свободных наук), затем в Академии юридических наук, где он получил звание лиценциата прав. Однако профессия адвоката ему была не по душе, и он стал изучать математику.

Уже в возрасте 22 лет Д’Аламбер представил Парижской академии свои сочинения, а в 23 года был избран адъюнктом Академии.

1743: вышел «Трактат о динамике », где сформулирован фундаментальный «Принцип Д’Аламбера», сводящий динамику несвободной системы к статике. Здесь он впервые сформулировал общие правила составления дифференциальных уравнений движения любых материальных систем.

Позже этот принцип был применен им в трактате «Рассуждения об общей причине ветров» (1774) для обоснования гидродинамики, где он доказал существование - наряду с океанскими - также и воздушных приливов.

1748: блестящее исследование задачи о колебаниях струны.

С 1751 года Д’Аламбер работал вместе с Дидро над созданием знаменитой «Энциклопедии наук, искусств и ремёсел ». Статьи 17-томной «Энциклопедии», относящиеся к математике и физике, написаны Д’Аламбером. В 1757 году, не выдержав преследований реакции, которым подвергалась его деятельность в «Энциклопедии», он отошёл от её издания и целиком посвятил себя научной работе (хотя статьи для «Энциклопедии» продолжал писать). «Энциклопедия» сыграла большую роль в распространении идей Просвещения и идеологической подготовке Французской революции.

1754: Д’Аламбер становится членом Французской Академии.

1764: в статье «Размерность» (для Энциклопедии) впервые высказана мысль о возможности рассматривать время как четвёртое измерение.

Д’Аламбер вёл активную переписку с российской императрицей Екатериной II . В середине 1760-х годов Д’Аламбер был приглашён ею в Россию в качестве воспитателя наследника престола, однако приглашения не принял. В 1764 г. был избран иностранным почётным членом Петербургской академии наук.

1772: Д’Аламбер избран непременным секретарём Французской Академии.

1783: после долгой болезни Д’Аламбер умер. Церковь отказала «отъявленному атеисту» в месте на кладбище, и его похоронили в общей могиле, ничем не обозначенной.

В честь Д’Аламбера назван кратер на обратной стороне Луны.

Научные достижения

Математика

В первых томах знаменитой «Энциклопедии» Д’Аламбер поместил важные статьи: «Дифференциалы»,«Уравнения», «Динамика» и «Геометрия», в которых подробно излагал свою точку зрения на актуальные проблемы науки.

Исчисление бесконечно малых Д’Аламбер стремился обосновать с помощью теории пределов, близкой к ньютоновскому пониманию «метафизики анализа». Он назвал одну величину пределом другой, если вторая, приближаясь к первой, отличается от неё менее чем на любую заданную величину. «Дифференцирование уравнений состоит попросту в том, что находят пределы отношения конечных разностей двух переменных, входящих в уравнение » - эта фраза могла бы стоять и в современном учебнике. Он исключил из анализа понятие актуальной бесконечно малой, допуская его лишь для краткости речи.

Перспективность его подхода несколько снижалась тем, что стремление к пределу он почему-то понимал как монотонное (видимо, чтобы Δ x ≠ 0 ), да и внятной теории пределов Д’Аламбер не дал, ограничившись теоремами о единственности предела и о пределе произведения. Большинство математиков (в том числе Лазар Карно) возражали против теории пределов, так как она, по их мнению, устанавливала излишние ограничения - рассматривала бесконечно малые не сами по себе, а всегда в отношении одной к другой, и нельзя было в стиле Лейбница свободно использовать алгебру дифференциалов. И всё же подход Д’Аламбера к обоснованию анализа в конце концов одержал верх - правда, только в XIX веке.

В теории рядов его имя носит широко употребительный достаточный признак сходимости.

Основные математические исследования Д’Аламбера относятся к теории дифференциальных уравнений, где он дал метод решения дифференциального уравнения 2-го порядка в частных производных, описывающего поперечные колебания струны (волнового уравнения). Д’Аламбер представил решение как сумму двух произвольных функций, и по т. н. граничным условиям сумел выразить одну из них через другую. Эти работы Д’Аламбера, а также последующие работы Л. Эйлера и Д. Бернулли составили основу математической физики.

В 1752 году, при решении одного дифференциального уравнения с частными производными эллиптического типа (модель обтекания тела), встретившегося в гидродинамике, Д’Аламбер впервые применил функции комплексного переменного. У Д’Аламбера (а вместе с тем и у Л. Эйлера) встречаются те уравнения, связывающие действительную и мнимую части аналитической функции, которые впоследствии получили название условия Коши - Римана, хотя по справедливости их следовало бы назвать условиями Д’Аламбера - Эйлера. Позже те же методы применялись в теории потенциала. С этого момента начинается широкое и плодотворное использование комплексных величин в гидродинамике.

Д’Аламберу принадлежат также важные результаты в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем таких уравнений 1-го и 2-го порядков.

Д’Аламбер дал первое (не вполне строгое) доказательство основной теоремы алгебры. Во Франции она называется теоремой Д’Аламбера - Гаусса.

Физика, механика и другие работы

Выше уже упоминался открытый им принцип Д’Аламбера, указавший, как строить математическую модель движения несвободных систем.

Выдающийся вклад Д’Аламбер внёс также в небесную механику. Он обосновал теорию возмущения планет и первым строго объяснил теорию предварения равноденствий и нутации.

Опираясь на систему Фрэнсиса Бэкона , Д’Аламбер классифицировал науки, положив начало современному понятию «гуманитарные науки».

Д’Аламберу принадлежат также работы по вопросам музыкальной теории и музыкальной эстетики: трактат «О свободе музыки», в котором подведены итоги т. н. войны буффонов - борьбы вокруг вопросов оперного искусства, и др.

Философия

Из философских работ наиболее важное значение имеют вступительная статья к «Энциклопедии», «Очерк происхождения и развития наук» (1751, рус. пер. в книге «Родоначальники позитивизма», 1910), в которой дана классификация наук, и «Элементы философии» (1759).

В теории познания вслед за Дж. Локком Д’Аламбер придерживался сенсуализма. В решении основных философских вопросов Д’Аламбер склонялся к скептицизму, считая невозможным что-либо достоверно утверждать о Боге, взаимодействии его с материей, вечности или сотворённости материи и т. п. Сомневаясь в существовании Бога и выступая с антиклерикальной критикой, Д’Аламбер, однако, не встал на позиции атеизма.

В отличие от французских материалистов, Д’Аламбер считал, что существуют неизменные, не зависящие от общественной среды нравственные принципы. Взгляды Д’Аламбера по вопросам теории познания и религии были подвергнуты критике со стороны Дидро в произведении: «Сон Д’Аламбера» (1769), «Разговор Д’Аламбера и Дидро» (1769) и др.