Чтобы построить математическую теорию нужны не только сами элементы, но и отношения между ними. Для чисел имеет смысл понятие равенства: а = b. Если числа а и b разные, а? b, тогда возможно или а > b, или а

Две прямые плоскости могут быть перпендикулярными, параллельными, пересекаться под некоторым углом.

Все эти отношения касаются двух объектов. Поэтому они называются бинарными отношениями.

Для изучения отношений между объектами в математике создана теория бинарных отношений.

Когда мы рассматриваем те или иные отношения, мы всегда имеем дело с упорядоченными парами, образованными из элементов данного множества. Например, для отношения «больше на 4», которое рассматривается на множестве Х = {2, 6, 10, 14}, это будут упорядоченные пары (2, 6), (6, 10), (10, 14), а для отношения «делится» - (6, 2), (10, 2), (14, 2).

Можно заметить, что множество пар, которые определяют отношения «больше на 4», «делится», являются подмножествами декартова произведения

Х ´ Х ={(2, 2), (2, 6), (2, 10), (2, 14), (6, 2), (6, 6), (6, 10), (6, 14), (10, 2), (10, 6), (10, 10), (10, 14), (14, 2), (14, 6), (14, 10), (14, 24)}.

Определение 1. Бинарным отношением между элементами множества Х или отношением на множестве Х называется всякое подмножество декартова произведения Х ´ Х.

Бинарные отношения обычно обозначают заглавными буквами латинского алфавита: P, T, S, R, Q и т. д. Итак, если Р–отношение на множестве Х, то Р Ì Х ´ Х. Часто для записи отношений используются разные специальные символы, например, =, >, ~, ½½, ^ и т. д. Множество всех первых элементов пар из Р называется областью определения отношения Р. Множеством значений отношения Р называется множество всех вторых элементов пар из Р.

Для наглядности бинарные отношения изображают графически с помощью специального рисунка графа. Элементы множества Х изображают точками. Если имеет место (х, у) Î Р(хРу), то из точки х проводят стрелку в точку у. Такой чертеж называют графом отношения Р, а точки, изображающие элементы множества Х, вершинами графа. стрелки рёбрами графа.

Пример. Пусть отношение Р: «число х - делитель числа у», заданного на множестве

Х = {5, 10, 20, 30, 40}, изображен на рисунке 25.

Стрелки графа, у которых началом и концом является одна и та же точка, называются петлями. Если на графе отношения Р изменить направления всех стрелок на противоположные, то получится новое отношение, которое называют обратным для Р. Его обозначают Р–1. Отметим, что хРу Û уР–1х.

Способы задания бинарных отношений.

Поскольку отношение R между элементами множества Х - это множество, элементами которого являются упорядоченные пары, то его можно задать теми же способами, что и любое множество.

1. Чаще всего отношение R на множестве Х задают при помощи характеристического свойства пар элементов, находящихся в отношении R. Это свойство формулируют в виде предложения с двумя переменными.

Например, среди отношений на множестве Х = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, можно рассматривать следующие: «число х меньше числа у в 2 раза», «число х - делитель числа у», «число х больше, чем число у» и другие.

2. Отношение R на множестве Х можно задать и путем перечисления всех пар элементов множества Х, связанных отношением R.

Например, если записать множество пар (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4), то на множестве Х = {1, 2, 3, 4} мы зададим некоторое отношение R. Это же отношение R можно задать и

3. при помощи графа (рис. 26).

Свойства бинарных отношений.

Определение 2. Отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если каждый элемент из множества Х сам с собой находится в этом отношении.

Короче: R рефлексивно на Х Û хRx для любого x Î X.

или, что тоже: в каждой вершине графа отношения есть петля. Верно и обратное: если ни каждая вершина графа отношения имеет петлю, то это рефлексивное отношение.

Пример. Рефлексивные отношения: «быть равными на множестве всех треугольников плоскости», «? и £ на множестве всех действительных чисел».

Отметим, что существуют отношения, которые не обладают свойством рефлексивности.(привести пример «х больше у»)

Определение 3. Бинарное отношение R на множестве Х называется антирефлексивным на Х, если для каждого х из Х (х, х) Ï R, т.е. для каждого х из Х не выполняется условие хRх.

Если отношение R антирефлексивно, то ни одна вершина его графа не имеет петли. Обратно: если ни одна вершина графа не имеет петли, то граф представляет антирефлексивное отношение.

Примеры антирефлексивных отношений: «быть старше», «быть меньше», «быть дочерью» и др.

Определение 4. Отношение R на множестве Х называется симметричным, если для любых элементов х, Î X выполняется условие: если х и у находятся в отношении R, то у и х тоже находятся в этом отношении.

Короче: R симметрично на Х Û хRу Û уRх.

Граф симметричного отношения обладает свойством: если есть стрелка, соединяющая пару элементов, то обязательно есть вторая, которая соединяет эти же элементы, но идет в противоположно направлении. Верно и обратное утверждение.

Примерами симметричных отношений являются отношения: «быть взаимно перпендикулярными на множестве всех прямых плоскости», «быть подобными на множестве всех прямоугольников плоскости».

Определение 5. Если ни для каких элементов х и у из множества Х не может случиться, что одновременно и хRу, и уRх, то отношение R на множестве Х называется асимметричным.

Пример асимметричного отношения: «быть отцом» (если х –– отец у, то у не может быть отцом х).

Определение 6. Отношение R на множестве Х называется антисимметричным, если для разных элементов х, у Î Х из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у, следует, что элемент у не находится в отношении R с элементом х.

Короче: R антисимметрично на Х Û хRу и х? у? .

Например, отношение «меньше» на множестве целых чисел, является антисимметричным.

Граф антисимметричного отношения обладает особенностью: если две вершины графа соединены стрелкой, то эта стрелка только одна. Справедливым является и обратное утверждение.

Заметим, что существуют отношения, которые не обладают ни свойством симметричности, ни свойством антисимметричности.

Определение7. Отношение R на множестве Х называется транзитивным, если для любых элементов х, у, z Î Х выполняется условие: если х находится в отношении R с у и у находится в отношении R с z, то элемент х находится в отношении R с элементом z.

Короче: R транзитивно на Х Û хRу и уRz ? хRz.

Например, отношение «прямая х параллельна прямой у», заданное на множестве прямых плоскости, является транзитивным.

Граф транзитивного отношения обладает особенностью: с каждой парой стрелок, идущих от х к у и от у к z, он содержит и стрелку, идущую от х к z. Верно и обратное утверждение.

Заметим, что существуют отношения, которые не обладают свойством транзитивности. Например, отношение «стоять рядом на полке» не транзитивно.

Все общие свойства отношений можно разбить на три группы:

рефлексивности (каждое отношение рефлексивно или антирефлексивно),

симметричности (отношение всегда или симметрично или асимметрично, или антисимметрично),

транзитивности (каждое отношение транзитивно или не транзитивно). Отношениям, обладающим определенным набором свойств, присвоены специальные названия.

Слово «соответствие» в русском языке употребляется довольно часто, оно означает соотношение между чем-либо, выражающее согласованность, равенство в каком-либо отношении (толковый словарь Ожегова).

В жизни часто приходится слышать: «Этот учебник соответствует данной программе, а этот учебник не соответствует (но может соответствовать другой программе); это яблоко соответствует высшему сорту, а это только первому». Мы говорим, что этому ответу на экзамене соответствует оценка «отлично», этому – «хорошо». Мы говорим, что этому человеку соответствует (в смысле подходит) одежда 46 размера. В соответствии с инструкцией следует поступать так, а не иначе. Наблюдается соответствие между количеством солнечных дней в году и урожайностью культуры.

Если попытаться проанализировать эти примеры, то можно заметить, что во всех случаях речь идет о двух классах объектов, причем между объектами из одного класса устанавливается по определенным правилам некая связь с объектами другого класса. Например, в случае соответствия одежды определенного размера, один класс объектов – это люди, а другой класс объектов – это некоторые натуральные числа, играющие роль размеров одежды. Правило, по которому устанавливается соответствие, можем задать, например, с помощью естественного алгоритма – примерки конкретного костюма или определения «на глаз» его годности.

Мы будем рассматривать соответствия, для которых классы объектов, между которыми устанавливается соответствие и правило установления соответствия, вполне определены. Многочисленные примеры таких соответствий изучались в школе. Прежде всего, это, конечно, функции. Любая функция есть пример соответствия. Действительно, рассмотрим, например, функцию у = х + 3. Если не говорится специально об области определения функции, то считают, что каждому числовому значению аргумента х соответствует числовое значение у , которое находится по правилу: к х нужно прибавить 3. В этом случае соответствие устанавливается между множествами R и R действительных чисел.

Заметим, что установление связей между двумя множествами X и Y связано с рассмотрением пар объектов, образованных из элементов множества X и соответствующих элементов множества Y .

Определение. Соответствием между множествами X и Y называют всякое непустое подмножество декартова произведения X ´ Y .

Множество X называется областью отправления соответствия, множество Y – областью прибытия соответствия.

Соответствия между множествами принято обозначать прописными буквами латинского алфавита, например, R, S, Т . Если R – некоторое соответствие между множествами X и Y , то, согласно определению, соответствия, R Í Х ´ Y и R ≠ Æ. Раз соответствие между множествами X и Y есть всякое подмножество декартова произведения Х ´ Y , т.е. является множеством упорядоченных пар, то способы задания соответствий по существу такие же, как и способы задания множеств. Итак, соответствие R между множествами X и Y можно задать:

а) перечислением всех пар элементов (х, y ) Î R ;

б) указанием характеристического свойства, которым обладают все пары (х, у ) множества R и не обладает ни одна пара, не являющаяся его элементом.

П р и м е р ы.

1) Соответствие R между множествами X = {20, 25} и Y = {4, 5, 6} задано указанием характеристического свойства: «х кратно у »,
х Î Х , у Î Y . Тогда множество R = {(20, 4), (20, 5),(25, 5)}.

2) Соответствие R между множествами X = {2, 4, 6, 8} и

Y = {1, 3, 5} задано множеством пар R = {(4, 1), (6, 3), (8, 5)}.

Если R – соответствие между двумя числовыми множествами X и Y , то, изобразив все пары чисел, находящихся в соответствии R на координатной плоскости, получим фигуру, называемую графиком соответствия R . Обратно, любое подмножество точек координатной плоскости считают графиком некоторого соответствия между числовыми множествами X и Y .

Граф соответствия

Для наглядного изображения соответствий между конечными множествами кроме графика применяются графы. (От греческого слова «графо» – пишу, сравните: график, телеграф).

Для построения графа соответствия между множествами X и Y элементы каждого из множеств изображают точками на плоскости, после проводят стрелки от х Î Х к у Î Y , если пара (х, у ) принадлежит данному соответствию. Получается чертеж, состоящий из точек и стрелок.

П р и м е р. Соответствие R между множествами X = {2, 3, 4, 5} и Y = {4, 9} задано перечислением пар R = {(2, 4), (4, 4), (3, 9)}.

Точно так же можно записать 4R 4, 3R 9. И вообще, если пара
(х, y ) Î R , то говорят, что элементу х Î Х соответствует элемент у Î Y и записывают хRу . Элемент 2 Î Х называется прообразом элемента
4 Î Y при соответствии R и обозначается 4R -1 2. Аналогично можно записать 4R -1 4, 9R -1 3.

1. Ранг матрицы

3
5
2
4

2. Алгебраическое дополнение элемента

А 23 = 12
А 23 = -34
А 23 = 34
А 23 = -12

3. Произведение матриц

— правильно

4. Если все элементы одной строки прямоугольной матрицы А размерности n x m умножить на два то ранг матрицы А …
увеличится на 2
не изменится
увеличится в два раза

5. Верное соотношение

— правильно

6. Значение определителя

2
4
5
3

7. Взаимное расположение прямых 4x — 2y — 6 = 0 и 8x — 4y — 2 = 0 на плоскости – прямые …
параллельны
пересекаются
перпендикулярны
совпадают

8. Пусть х и у решения системы

4
7
5
6

9. Среди приведенных ниже уравнений указать уравнение эллипса

10. Пусть прямая задана нормальным уравнением x sinα + y sinα – p = 0. Верное утверждение
Если ОА – перпендикуляр, восстановлены из начала координат к прямой, то α — угол образованный перпендикуляром ОА с осью Ох
Если ОА – перпендикуляр, восстановлены из начала координат к прямой, то α — длинна этого перпендикуляра
р — величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Ох
α — угол наклона прямой к положительному направлению оси Ох

11. Дана линейная система

система имеет бесчисленное множество решений
система не имеет решений
система имеет единственное решение
о наличии решений ничего сказать нельзя (система может как иметь так и не иметь решения)

5x — 3y — 7 = 0
3x + y — 7 = 0
4x — 2y — 6 = 0
6x — y — 11 = 0

13. Найти скалярное произведение векторов

Вариант 1

№

Соответствием между множествами X и Y называется любое _________________________________ ________________________________________________________________ Х х Y .

№2. На рисунках соответствия между множествами заданы с помощью графов. Укажите граф соответствия, в котором область определения соответствия не совпадает с множеством отправления соответствия.

№

1
) график, 2) граф, 3) перечисление пар, 4) характеристическое свойство

а
) б) а < b

№4. На каком рисунке изображены графики обратных соответствий?

а
) б) в) г)

№5. Между множествами М = {А, Б, В, Г, Д} и N = {1, 2, 3, 4, 5} задано соответствие Q : «элемент m идет в русском алфавите под номером n ». Укажите верные утверждения:

Множества M и N являются равномощными.

Область определения соответствия Q совпадает с его множеством значений.

№6. (Практическое задание). Между множествами А = {1, 2, 3, 4, 5} и В = {2, 4, 6, 8,10} задано соответствие Т: «а меньше b на 2»

Перечислите пары соответствия Т

Задайте соответствие Т -1 , обратное данному, перечислите его пары

Постройте графики соответствий Т и Т -1 в одной системе координат

Тест по теме «Соответствия между множествами»

Вариант 2

№1. Вставь пропущенные слова в предложении:

Соответствием между множествами X и Y называется множество ______________________________, первая компонента которых _____________________ множеству Х, а вторая - ___________________.

№2. На рисунках соответствия между множествами заданы с помощью графов. Укажите граф соответствия, в котором множество значений соответствия совпадает с множеством прибытия соответствия.

№3. Сопоставьте название способа задания соответствия и его изображение.

1
), перечисление пар 2) характеристическое свойство, 3) график, 4) граф

а) б) а < b в) Р = {(2;3), (5;6), (4;5)} г)

№4. На каком рисунке изображен график взаимно однозначного соответствия?

а
) б) в) г)

№5. Между множествами А = { 1, 2, 3, 4, } и В = { 2, 4, 6, 8, 9} задано соответствие Q : «а меньше b в 3 раза». Укажите верные утверждения:

Соответствие является взаимно однозначным.

Соответствие «b больше а в 3 раза» является обратным данному.

Область определения соответствия Q не совпадает с его множеством отправления..

№6. (Практическое задание). Между множествами М = {1, 2, 3, 4, 5} и N = {1, 2, 4, 6, 8,10} задано соответствие Т: m 2 = n

Перечислите пары соответствия Т.

Перечислите пары соответствия Т -1 , обратного данному, постройте его граф.

Постройте графики соответствий Т и Т -1 в одной системе координат.

Тест по теме «Соответствия между множествами»

Таблица ответов.

1 вариант.

2 вариант.

Подмножество; декартова произведения множеств

Упорядоченных пар; принадлежит; множеству У

1г, 2а, 3в, 4б

1в, 2б, 3г, 4а

а, б

б,в

Критерий оценки:

№1 – 2 балла

№2 – 1 балл

№3 – 1 балл

№4 – 1 балл

№5 – 3 балла

№6 – 4 балла

Итого 12 баллов.

Отметки:

12-11 баллов – 5

10 – 9 баллов – 4

8 – 6 баллов – 3

Менее 6 баллов – 2

Вариант 1

№1. Вставь пропущенные слова в предложении:

Отношением на множествеX называется любое _________________________________ ________________________________________________________________ Х х Х.

№2. На множестве А = {1, 2, 3, 4, 5, 6} заданы различные отношения:

Укажите графы:

№

отношением эквивалентности.

отношением порядка

отношением параллельности на множестве прямых плоскости

№

а
) б) в) г)

№5. Сопоставить отношения, заданные на множестве домов и их свойства:

«иметь столько же этажей»

«иметь больше квартир»

«быть построенным раньше на 2 года»

Рефлексивность

Симметричность

Антисимметричность

Транзитивность

№х не старше у », заданного на множестве детей. Является ли это отношение отношением порядка?

Ольга 7лет

Николай 8 лет

Валентин 9лет

Анатолий 8 лет

Светлана 7 лет

Петр 7 лет

Тест по теме «Отношения между множествами»

Вариант 2

№1. Вставь пропущенные слова в предложении:

Отношением на множестве X называется множество ______________________________, обе компоненты которых _____________________ множеству Х.

№2. На множестве { 2, 3, 5, 7, 9} заданы различные отношения:

Укажите графы:

№
3. По графу определить, какие из отношений являются:

отношением порядка

отношением «меньше или равно» на множестве N

№4. На каком рисунке изображен граф отношения между множествами?

а
) б) в) г)

№5. Сопоставить отношения, заданные на множестве учащихся класса и их свойства:

«жить на той же улице»

«быть старше на 1 год»

«жить ближе к школе»

Рефлексивность

Симметричность

Антисимметричность

Транзитивность

№6. (Практическое задание). Постройте граф отношения «х имеет тот же пол, что и у », заданного на множестве детей. Является ли это отношение отношением эквивалентности?

Ольга

Николай

Валентин

Анатолий

Светлана

Петр

Тест по теме «Отношения между множествами»

Таблица ответов.

1 вариант.

2 вариант.

Подмножество; декартова произведения множества (декартова квадрата)

Упорядоченных пар; принадлежат; множеству Х

1а, 2а, 3а,б, 4б, 5а, 6б, 7б

1б, в, 2в, 3б, 4в, 5б, 6в, 7в

1а, 2б, 3а,г

1а,в, 2в

а – 1, 2, 4; б – 3, 4; в – 3

а – 1, 2, 4; б – 3, в – 3, 4

Критерий оценки:

№1 – 2 балла

№2 – 7 баллов

№3 – 3 балла

№4 – 1 балл

№5 – 3 балла

№6 – 2 балла

Итого 18 баллов.

Отметки:

18-17 баллов – 5

16 – 13 баллов – 4

12 – 9 баллов – 3

Менее 9 баллов – 2

Тема 8. Отношения и соответствия

Понятие бинарного отношения между элементами множества

В обычной жизни мы постоянно говорим об отношениях между двумя объектами. Например, х работает иод руководствому, х является отцому, х и у друзья - это отношения между людьми. Числох больше числам, числох делится на у, числах и у при делении на 3 дают одинаковый остаток - это отношения между числами.

Всякая математическая теория имеет дело с множеством каких-нибудь объектов или элементов. Чтобы построить математическую теорию нужны не только сами элементы, но и отношения между ними. Для чисел имеет смысл понятие отношений:a = b , илиа > b, илиа < b. Две прямые плоскости могут быть параллельными или пересекаться.

Все эти отношения касаются двух объектов. Поэтому они называются бинарными отношениями.

Когда мы рассматриваем те или иные отношения, мы всегда имеем дело с упорядоченными парами, образованными из элементов данного множества. Например, для отношения «число x больше на 4, чем числоy », которое рассматривается на множествеX = {2, 6, 10, 14}, это будут упорядоченные пары (6,2), (10, 6), (14, 10). Они - подмножество декартова произведенияX X .

Определение. Бинарным отношением между элементами множестваX или отношением на множествеX называется всякое подмножество декартова произведенияX X.

Бинарные отношения обычно обозначают заглавными буквами латинского алфавита: Р, Т, S, R, Q и т.д. Итак, еслиP - отношение на множествеX, тоР X X. Множество всех первых элементов пар изР называется областью определения отношенияР. Множеством значений отношенияР называется множество всех вторых элементов пар изР.

Во многих случаях удобно использовать графическое изображение бинарного отношения.

Элементы множества X изображают точками, а стрелками соединяют соответствующие элементы так, что если имеет место (х,у )Р(хРу), то стрелку проводят из точких в точкуу. Полученный чертеж называют графом отношенияР, а точки, изображающие элементы множестваX,

вершинами графа.

Например, граф отношения Р: «числох - делитель числау», заданного на множествеX = {5, 10, 20, 30,40}, изображен на рис. 54.

Стрелки графа, у которых началом и концом является одна и та же точка, называются петлями. Если на графе отношения Р изменить направления всех стрелок на

противоположные, то получится новое отношение, которое называют обратным для Р. Его обозначают Р -1 . Отметим, чтохРу уР -1 х.

Способы задания бинарных отношений, их свойства

Поскольку отношение R между элементами множестваХ - это множество, элементами которого являются упорядоченные пары, то его можно задать теми же способами, что и любое множество.

Чаще всего отношение R на множествеX задают при помощи характеристического свойства пар элементов, находящихся в отношенииR. Это свойство формулируют в виде предложения с двумя переменными. Например, среди отношений на множествеХ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} можно рассматривать следующие: «числох меньше числа у в 2 раза», «числох - делитель числау» и др.

Отношение R на множествеX можно задать и путем перечисления всех пар элементов, взятых из множестваX и связанных отношениемR.

Например, если записать множество пар (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3,

4), то на множестве	X = {1, 2, 3, 4} мы зададим некоторое
отношение
R = {(x, y)| x X, y	X, x < y} .

Это же отношение R можно задать и при помощи графа (рис). Выделим важнейшие свойства бинарных отношений.

Определение 1. ОтношениеR на множествеX называется рефлексивным, если каждый элемент из множества X сам с собой находится в этом отношении.

Короче данное определение можно записать так: R рефлексивно наХ хRх для любогох X.

Очевидно, что если отношение R на множествеX является рефлексивным, то в каждой вершине графа отношения есть петля. Справедливым является и обратное утверждение.

Примерами рефлексивных отношений являются отношения: «быть равными на множестве всех треугольников плоскости», «x ≤ y».

Отметим, что существуют отношения, которые не обладают свойством рефлексивности, например, отношение перпендикулярности прямых.

Определение 2. ОтношениеR на множествеX называется симметричным, если для любых элементовх, у Х выполняется условие: еслих и у находятся в отношенииR, то у их тоже находятся в этом отношении.

Короче: R симметрично наX xRy yRx.

Граф симметричного отношения обладает свойством: если есть стрелка, соединяющая пару элементов, то обязательно есть вторая, которая соединяет эти же элементы, но идет в противоположно направлении. Верно и обратное утверждение.

Примерами симметричных отношений являются отношения: «быть взаимно перпендикулярными на множестве всех прямых плоскости», «быть подобными на множестве всех прямоугольников плоскости».

Определение 3 . Если ни для каких элементовх и у из множестваX не может случиться, что одновременно иxRy, иyRx, то отношениеR на множествеX называется асимметричным. Пример асимметричного отношения: «быть отцом» (еслих - отецу , тоу не может быть отцомх).

Определение 4. ОтношениеR на множествеX называется антисим-

Например, отношение «меньше» на множестве целых чисел, является антисимметричным.

Граф антисимметричного отношения обладает особенностью: если две вершины графа соединены стрелкой, то эта стрелка только одна. Справедливым является и обратное утверждение. Свойство асимметричности является совокупностью свойства антисимметричности и отсутствия рефлексивности.

Определение 5. ОтношениеR на множествеX называется транзитивным, если для любых элементовx, y, z X выполняется условие: еслих находится в отношенииR су иу находится в отношенииR сz, то элементх находится в отношенииR с элементомz.

Короче: R транзитивно наX xRy иyRz xRz.

Например, отношение «прямая х параллельна прямойу», заданное на множестве прямых плоскости, является транзитивным.

Граф транзитивного отношения обладает особенностью: с каждой парой стрелок, идущих от х ку и оту кz, он содержит и стрелку, идущую отх кz. Верно и обратное утверждение.

Заметим, что существуют отношения, которые не обладают свойством транзитивности. Например, отношение «стоять рядом на полке» не транзитивно.

Отношение эквивалентности

Пусть Х - множество людей. На этом множестве зададим бинарное отношениеR с помощью закона:aRb, если а иb родились в один и тот же год.

Легко убедиться в том, что отношение R обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Говорят, что отношениеR - отношение эквивалентности.

Определение 1. Бинарное отношениеR на множествеX называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Снова вернемся к отношению R, заданному на множестве людей законом:aRb, если а иb родились в один и тот же год.

Вместе с каждым человеком а рассмотрим множество людейК а , которые родились в один год са. Два множестваК а иК b либо не имеют общих элементов, либо совпадают полностью.

Совокупность множеств К а представляет собой разбиение множества всех людей на классы, поскольку из ее построения следует, что выполняются два условия: каждый человек входит в какой-нибудь класс и каждый человек входит только в один класс. Заметим, что каждый класс состоит из родившихся в один год людей.

Таким образом, отношение эквивалентности R порождает разбиение множестваX на классы (классы эквивалентности). Верно и обратное.

Теорема. Каждому отношению эквивалентности на множествеX соответствует разбиение множестваX на классы (классы эквивалентности). Каждому разбиению множествах соответствует отношение эквивалентности на множествеX.

Эту теорему примем без доказательства.

Из теоремы следует, что каждый класс, полученный в результате разбиения множества на классы, определяется любым (одним) своим представителем, что дает возможность вместо изучения всех элементов данного множества изучать только совокупность отдельных представителей каждого класса.

Отношение порядка

Отношениями порядка мы постоянно пользуемся в повседневной жизни. Определение 1. Всякое антисимметричное и транзитивное отношениеR на

некотором множестве X называется отношением порядка.

Множество X, на котором задано отношение порядка, называется упорядоченным.

Возьмем множество Х = {2, 4, 10, 24}. Его упорядочивает отношение «х большеу» (рис. 63).

Рассмотрим теперь на нем другое отношение порядка «х делит

у» (рис. 64).

Результат рассмотрения может показаться странным. Отношения «x большеy » и«х делиту» упорядочивают множествоX поразному. Отношение«х большеу» позволяет сравнивать любые два числа из

множества X. Что касается отношения«х делиту» , то оно таким свойством не обладает. Так пара чисел 10 и 24 этим отношением не связана.

Определение 2. Отношение порядкаR на некотором множествеX называется отношением линейного порядка, если оно обладает следующим свойством: для любых элементовх иу

множества Х либоxRy, либоуRx .

Множество X, на котором задано отношение линейного порядка, называется линейно упорядоченным.

Линейно упорядоченные множества обладают рядом свойств. Пусть а, b, с - элементы множестваX, на котором задано отношение линейного порядкаR. ЕслиaRb иbRc, то говорят, что элементb лежит между элементамиa ис .

Линейно упорядоченное множество X называется дискретным, если между любыми двумя его элементами лежит лишь конечное множество элементов.

Если для любых двух различных элементов линейно упорядоченного множества X существует элемент множества, лежащий между ними, то множествоX называется плотным.

Понятие соответствия между множествами. Способы задания соответствий

Пусть заданы два множествами X иY. Если для каждого элементаx X указан элементу Y, с которым сопоставляетсях, то говорят, что между множествамиX иY установлено соответствие.

Иначе говоря, соответствием между элементами множеств X иY называется любое подмножествоG декартова произведенияX иY этих множеств:G X Y .

Поскольку соответствие - это множество, то его можно задать теми же способами, что и любое множество: перечислением всех пар (х, у), где

Когда множества X иY конечные, то соответствие между элементами можно задать таблицей, где в левом столбце записывают элементы множестваX, а в верхней строке - элементы множестваY. Пары элементов, находящихся в соответствииG, будут находиться на пересечении соответствующих столбцов и строк.

Соответствие между двумя конечными множествами можно показать и при помощи графа. Множества X иY показывают овалами, элементы множествX иY обозначают точками, а стрелками соединяют соответствующие элементы так, что если имеет место (x ,у) G , то стрелку проводят из точких в точкуу.

Например, граф, изображенный на рис. 16, задает соответствие «Писатель х написал произведениеу».

Когда множествах и Y числовые, то можно построить график соответствияG на координатной плоскости.

Соответствие, обратное данному. Взаимно однозначные соответствия

Пусть R - соответствие «Числох в пять раз меньше числау» между элементами множествX = {1, 2, 4, 5, 6} и

Y = {10, 5, 20, 13, 25}.

Граф этого соответствия будет таким, как на рис. 23. Если изменить направление стрелок этого графа на

обратное, то получим граф (рис. 22) нового соответствия «Число у в пять раз больше числа х», рассматриваемого

между множествами Y иX.

Это соответствие называется соответствием, обратным

соответствию R, и обозначается R -1 .
Определение. Пусть	R - соответствие
элементами множеств X иY. Соответствие R -1
элементами множеств Y иX называется обратным данному,
когда (у, х ) R -1 тогда и только тогда, когда (х,		у) R.
Соответствия R и R -1 называют взаимно обратными.
Если множества X иY числовые, то график
соответствия R -1 , обратного соответствиюR, состоит из
точек, симметричных точкам графика соответствия R
относительно биссектрисы первого и	третьего

координатных углов.

Представим ситуацию: в зрительном зале на каждом месте сидит зритель и для каждого зрителя нашлось место. В этом случае говорят, что между множеством

мест в зрительном зале и множеством зрителей установлено взаимно однозначное соответствие.

Определение. Пусть даны два множествахX иY. Соответствие между элементами множествX иY , при котором каждому элементу множестваX соответствует единственный элемент множества У, и каждый элемент множестваY соответствует только одному элементу из множестваX , называется взаимно однозначным.

Рассмотрим примеры взаимно однозначных соответствий. Пример 1. В каждой школе каждому классу

соответствует классный журнал. Это соответствие является взаимно однозначным.

Пример 2. Дан треугольникABC (рис. 25).А 1 С 1 средняя линия треугольника. ПустьХ - множество точек на отрезкеА 1 С 1 , Y - множество точек наАС.

Произвольную точку х отрезкаА 1 С 1 соединим с вершинойВ треугольника отрезком прямой линии и

продолжим его до пересечения с АС в точкеу. Поставим в соответствие точкех точкуу, построенную таким образом. При этом между множествамиX иY будет установлено взаимно однозначное соответствие.

Определение. МножестваX иY называются эквивалентными, или равномощными, если между ними каким-либо способом можно установить взаимно однозначное соответствие. Эквивалентность двух множеств обозначается так:Х ~ Y.

Понятие мощности является обобщением понятия количества. Это распространение понятия количества на бесконечные множества.